全国高中数学竞赛专题-三角函数 - 下载本文

全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式

莆田四中校本课程

一、基础知识

定义1 角:一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。

定义2 角度制:把一周角360等分,每一等分为一度。

弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值|α|=

Lr,其中r是圆的半径。

定义3 三角函数:在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意取

一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为r,则正弦函数sinα=正切函数tanα=

yxyr,余弦函数cosα=

xr,

,余切函数cotα=

xy,正割函数secα=

1cot?sin?rx,余割函数cscα=

1ry1.

定理1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tanα=

csc?cos?,cot??商数关系:tanα=; cos?sin?,sinα=,cosα=

sec?;

乘积关系:tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα;

平方关系:sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.

定理2 诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;

(Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα;

(Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα;

?????????(Ⅳ)sin????=cosα, cos????=sinα, tan????=cotα(奇变偶不变,符号看象限)。

?2??2??2?定理3 正弦函数的性质,根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下。

?3??????单调区间:在区间?2k??,2k???上为增函数,在区间?2k??,2k????上为减函数,

2222????最小正周期:2?. 奇偶性:奇函数

??有界性:当且仅当x=2kx+时,y取最大值1,当且仅当x=3k?-时, y取最小值-1,值域为[-1,1]。

22对称性:直线x=k?+

?2均为其对称轴,点(k?, 0)均为其对称中心。这里k∈Z.

定理4 余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。

单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。 最小正周期:2π。 奇偶性:偶函数。

有界性:当且仅当x=2kπ时,y取最大值1;当且仅当x=2kπ-π时,y取最小值-1。值域为[-1,1]。

对称性:直线x=kπ均为其对称轴,点?k?????定理5 正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(x?kπ+

?Z. ,0?均为其对称中心。这里k∈

2????2)在开区间(kπ-?22, kπ+

2)上为增函数,

最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+,0)均为其对称中心。

定理6 两角和与差的基本关系式:cos(α?β)=cosαcosβ?sinαsinβ,

sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ;

1

tan(α?β)=

(tan??tan?)(1?tan?tan?)co?s?22.

两角和与差的变式:sin2??sin2??cos2??cos2??sin(???)sin(???)

2 co2s??sin??

s?in??co?s?( ?s(?)?co

)三角和的正切公式:tan(?????)?tan??tan??tan??tan?tan?tan?1?tan?tan??tan?tan??tan?tan?定理7 和差化积与积化和差公式:

????????????????????sinα+sinβ=2sin??cos??, sinα-sinβ=2sin??cos??,

?2??2??2??2?cosα+cosβ=2cos?sinαcosβ=cosαcosβ=

1212[sin(α+β)+sin(α-β)], cosαsinβ=

?????????????????????cos??, cosα-cosβ=-2sin??sin??,

?2??2??2??2?1212[sin(α+β)-sin(α-β)],

[cos(α+β)+cos(α-β)], sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].

2tan?(1?tan?)142定理8 二倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α=

三倍角公式及变式:sin3??3sin??4sin3?,cos3??4cos3??3cos?

0? sin(6??.

)?sin1?si?n(?60?4)?sin3??)cos?cos(60??)?,cos(60??cos3?

定理9 半角公式: sin

tan

?2=?=?(1?cos?)2, cos=

?2=??(1?cos?)2,

?2(1?cos?)(1?cos?)sin?(1?cos?)(1?cos?)sin?.

???2tan???2?定理10 万能公式: sin?????2tan???2?1?tan2???2???2???1?tan??1?tan?????2??2??2?定理11 辅助角公式:如果a, b是实数且a2+b2?0,则取始边在x轴正半轴,终边经过点(a, b)的一个角为β,

ba22则sinβ=,cosβ=,对任意的角α.asinα+bcosα=(a?b)sin(α+β).

2222a?ba?b, cos??2???1?tan???2?,tan??.

定理12 正弦定理:在任意△ABC中有

asinA?bsinB?csinC?2R,

其中a, b, c分别是角A,B,C的对边,R为△ABC外接圆半径。

222

定理13 余弦定理:在任意△ABC中有a=b+c-2bcosA,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边。

定理14 射影定理:在任意△ABC中有a?bcosC?ccosB,b?acosC?ccosA,c?acosB?bcosA 定理15 欧拉定理:在任意△ABC中,OI?R?2Rr,其中O,I分别为△ABC的外心和内心。 定理16 面积公式:在任意△ABC中,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长p?则S? ?

2

22a?b?c2

12aha?12absinC?abc4R?rp?2RsinAsinBsinC?rR(sinA?sinB?sinC) 1c)?422p(p?a)(p?b)(p?(acotA?2bco?tB2ct coC)

定理17 与△ABC三个内角有关的公式: (1)sinA?sinB?sinC?4cosA2cosAB2cosBC2; C2;

(2)cosA?cosB?cosC?1?4sin22(3)tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC;

sinsin(4)tanA222222(5)cotAcotB?cotBcotC?cotCcotA?1;

tanB?tanBtanC?tanCtanA?1;

(6)sin2A?sin2B?sin2C?4sinAsinBsinC.

定理18 图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得y=sin(x+?)的图象(相位

变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的

1?纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(?x+?)(?>0)的图象(周期变换);

,得到y=sin?x(??0)的图象(周期变换);横坐标不变,

横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);y=Asin(?x+?)(?, ?>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移

定义4 函数y=sinx??x???????,??个单位得到y=Asin?x的图象。

????2?[-1, 1]), ?的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x∈2???函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx??x???????????2,?[-∞, +∞]). ?的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈?2??函数y=cotx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数,记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).

n

定理19 三角方程的解集,如果a∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)arcsina, n∈Z}。

方程cosx=a的解集是{x|x=2kx?arccosa, k∈Z}.

如果a∈R,方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。

??恒等式:arcsina+arccosa=;arctana+arccota=.

22定理20 若干有用的不等式:

???(1)若x??0,?,则sinx

?2?x(2)函数y?sinx在(0,?)上为减函数;函数y?tanxx在(0,?2)上为增函数。

(3)嵌入不等式:设A+B+C=π,则对任意的x,y,z∈R,

222有x?y?z?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC

等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.

二、方法与例题 1.结合图象解题。

例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象,由图象可知两者有6个交点,故方程有6个解。 2.三角函数性质的应用。 例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。

??????【解】 若x??,??,则-1

?2??2?所以sin(cosx) ≤0,又00,所以cos(sinx)>sin(cosx).

3

若x??0,????2??,则因为sinx+cosx=2sin(x+

?2?4)≤2<

?2,所以0

?2-cosx<

?2,

所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).

综上,当x∈(0,π)时,总有cos(sinx)

3.最小正周期的确定。

例3 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

【解】 因为cos(-x)=cosx,所以cos|x|=cosx, 所以T=2π是函数的周期; 4.三角最值问题。

例4 已知函数y=sinx+1?cosx,求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令sinx=2cos?,1?cos2x?3???2sin???0???,

4??4?则有y=2cos??2sin??2sin(??).

4?3???因为?0??,所以?????,所以0?sin(??)≤1,

442442所以当??34?,即x=2kπ-

?2(k∈Z)时,ymin=0,当??2(sin2?4,即x=2kπ+

2

?2(k∈Z)时,ymax=2.

2

2

【解法二】 因为y=sinx+1?cos2x?2x?1?cos2x)=2(因为(a+b)≤2(a+b)),

2且|sinx|≤1≤1?cosx,所以0≤sinx+1?cosx≤2,

?2所以当1?cosx=sinx,即x=2kπ+(k∈Z)时, ymax=2,

2当1?cosx=-sinx,即x=2kπ-5.换元法的使用。 例5 求y?sinxcosx1?sinx?cosx2?2(k∈Z)时, ymin=0。

的值域。

2sin(x?【解】 设t=sinx+cosx=

?2?2?2sinx?cosx???2?2???4).

因为?1?sin(x??4)?1,所以?2?t?2.

x?12又因为t=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=

t?12

t?122,所以y?21?t?t?122,所以

?2?12???1,???y?2?1??. 2?2?12.

???1,所以y?-1.所以函数值域为y???因为t?-1,所以2?6.图象变换:y=sinx(x∈R)与y=Asin(?x+?)(A, ?, ?>0).

2?1?,?1????例6 已知f(x)=sin(?x+?)(?>0, 0≤?≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M?是单调函数,求?和?的值。

【解】 由f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以sin(?x+?)=sin(-?x+?),

所以cos?sinx=0,对任意x∈R成立。又0≤?≤π,解得?=

?2?3?????,0?对称,且在区间?0,?上?4??2?,

4

因为f(x)图象关于M?34?3?33?,0?对称,所以f(??x)?f(??x)=0。

44?4?取x=0,得f(?)=0,所以sin??3??4???2??又?>0,取k=0时,此时f(x)=sin(2x+)在[0,

?23??2Z),即?=(2k+1) (k∈Z). ??k??(k∈??0.所以

4232??2]上是减函数;

?2取k=1时,?=2,此时f(x)=sin(2x+取k=2时,?≥

综上,?=

23103)在[0,?2]上是减函数; ?2,此时f(x)=sin(?x+)在[0,]上不是单调函数,

或2。

7.三角公式的应用。 例7 已知sin(α-β)=

513,sin(α+β)=-

513,且α-β∈???3??,??,α+β∈?,2??,求sin2α,cos2β的值。 ?2??2???【解】 因为α-β∈???12?2. ,??,所以cos(α-β)=-1?sin(???)??132??又因为α+β∈??3?12?2. ,2??,所以cos(α+β)=1?sin(???)?13?2?120169所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,

cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

例8 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且【解】 因为A=1200-C,所以cos

又由于

1cosA?1cosC?A?C21cosA?1cosC??2cosB,试求cosA?C2的值。

=cos(600-C),

1?1cosC0cos(1200?C)0?cos(1200?C)?cosC0cosCcos(120?C)0

??22,

=

2cos60cos(6012[cos1200?C)0?2cos(60cos(1200?C)12?cos(120?2C)]?2C)?所以42cos又cosA?C22A?C2?2cosA?C2?32=0。解得cosA?C2?22或cosA?C2??328。

>0,所以cosA?C2?22。

例9 求证:tan20?+4cos70?=3 【解】 tan20+4cos70=

????sin20cos20???+4sin20???sin20?4sin20cos20cos20????????sin20?2sin40cos20????

sin20?sin40?sin40cos20sin80?sin40cos20??????2sin30cos10?sin40cos20???

?2sin60cos20cos20?3.

5

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南京廖华

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