2018-2019学年高三数学一轮复习讲义通用版:选修4-4 坐标系与参数方程(全套打包) - 下载本文

1.判断题

??x=-1-t,

(1)参数方程?(t为参数)所表示的图形是直线.( )

?y=2+t???x=3cos α,

(2)直线y=x与曲线?(α为参数)的交点个数为1.( )

?y=3sin α?

答案:(1)√ (2)× 2.填空题

?x=1+2t,?

(1)若直线的参数方程为?(t为参数),则直线的斜率为________.

?y=2-3t?

-3t33

解析:∵==-,∴tan α=-. 22x-12t

y-2

3

答案:- 2

??x=5cos φ,

(2)椭圆C的参数方程为?(φ为参数),过左焦点F1的直线l与C相交于A,

?y=3sin φ?

B两点,则|AB|min=________.

??x=5cos φ,x2y2

解析:由?(φ为参数)得,+=1,当AB⊥x轴时,|AB|有最小值.∴|AB|min

259

??y=3sin φ

918=2×=.

55

答案:

18 5

??x=sin θ,

(3)曲线C的参数方程为?(θ为参数),则曲线C的普通方程为________.

?y=cos 2θ-1?

??x=sin θ,

解析:由?(θ为参数)消去参数θ得y=-2x2(-1≤x≤1).

?y=cos 2θ-1?

答案:y=-2x2(-1≤x≤1)

??x=2cos θ,

(4)椭圆?(θ为参数)的离心率为________.

?y=5sin θ?

解析:由椭圆的参数方程可知a=5,b=2.故c==

21. 5答案:

21 5

c

52-22=21,故椭圆的离心率e=a

[全析考法]

1.参数方程化为普通方程

基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法;④平方后再加减消元法等.其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧,三角恒等式消元法常利用公式sin2θ+cos2θ=1等.

2.普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则

曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值;

(2)解题的一般步骤

第一步,引入参数,但要选定合适的参数t;

第二步,确定参数t与变量x或y的一个关系式x=f(t)(或y=φ(t));

第三步,把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x,y)=0,求得另一关系y=g(t)(或x=ψ(t)),问题得解.

[例1] 将下列参数方程化为普通方程.

参数方程与普通方程的互化 ?x=t,(1)?1

y=?tt-1

21

(t为参数);

2??x=2+sinθ,(2)?(θ为参数). ?y=-1+cos 2θ?

1?2?1[解] (1)∵??t?+?t∴x2+y2=1.

t2-1?2=1,

?

∵t2-1≥0,∴t≥1或t≤-1. 1

又x=t,∴x≠0.

当t≥1时,0

??0

∴所求普通方程为x+y=1,其中?或?

?0≤y<1??-1

2

2

(2)∵y=-1+cos 2θ=-1+1-2sin2θ=-2sin2θ,sin2θ=x-2,∴y=-2x+4,∴2x+y-4=0.

∵0≤sin2θ≤1,∴0≤x-2≤1,∴2≤x≤3, ∴所求的普通方程为2x+y-4=0(2≤x≤3). [易错提醒]

(1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x,y的取值范围,保证消参前后方程的一致性.

(2)将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中x,y的取值范围的影响.

1.解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路如下: (1)把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程; (2)根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.

2.当直线经过点P(x0,y0),且直线的倾斜角为α,求直线与圆锥曲线的交点、弦长问

??x=x0+tcos α,

题时,可以把直线的参数方程设成?(t为参数),交点A,B对应的参数分别

?y=y0+tsin α?

直线与圆锥曲线的参数方程及应用

为t1,t2,计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程,求出t1+t2,t1·t2,得到|AB|=|t1-t2|=?t1+t2?2-4t1·t2.

[例2] (2018·石家庄质量检测)已知直线

?x=1+2t,

l:?3

y=?2t1

(t为参数),曲线C1:

??x=cos θ,

?(θ为参数). ?y=sin θ?

(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;

13

(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,

22设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l距离的最小值.

[解] (1)l的普通方程为y=3(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1,联立,得

??y=3?x-1?,

?22??x+y=1,

解得l与C1的交点坐标分别为(1,0),

?1,-3?,所以|AB|=

2??2

?1-1?2+?0+3?2=1.

?2??2?

?x=2cos θ,(2)C的参数方程为?3

y=?2sin θ

2

1

3?1?(θ为参数),故点P的坐标是cos θ,sin θ,

2?2?

从而点P到直线l的距离d=

|

33

cos θ-sin θ-3223?θ-π?+2?, =?2sin?4??2 4?

π6

θ-?=-1时,d取得最小值,且最小值为由此当sin??4?4

[方法技巧]

(

2-1.

)

求解直线与圆锥曲线参数方程问题的方法

(1)解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题.

??x=x0+at,

(2)对于形如?(t为参数)的直线的参数方程,当a2+b2≠1时,应先化为标

??y=y0+bt

准形式后才能利用t的几何意义解题.

[全练题点]

?x=3-22t,

1.[考点二](2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为?

2

y=5+t?2

轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=25sin θ.

(1)求圆C的直角坐标方程;

(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x

(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(3,5),求|PA|+|PB|. 解:(1)由ρ=25sin θ,得ρ2=25ρsin θ. ∴x2+y2=25y,即x2+(y-5)2=5.

(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程. 得3-

??2?2?2?22t+t=5,即t-32t+4=0. 2??2?

2

??t1+t2=32,

由于Δ=(32)-4×4=2>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,所以?

t2=4.?t1·?

又直线l过点P(3,5),

故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32. 2.[考点一、二](2018·郑州模拟)将曲线C1:x2+y2=1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C2,A为C1与x轴正半轴的交点,直线l经过点A且倾斜角为30°,记l与曲线C1的另一个交点为B,与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C,D.

(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程; (2)求|AC|-|BD|.

3x=1+t,?2x

解:(1)由题意可得C:+y=1,对曲线C,令y=0,得x=1,所以l:?12

?y=2t

22

2

1

(t为参数).

?x=1+23t,(2)将?1

y=?2t

x22

代入+y=1,

2

整理得5t2+43t-4=0.

43

设点C,D对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-,

5且|AC|=t1,|AD|=-t2.又|AB|=2|OA|cos 30°=3,

故|AC|-|BD|=|AC|-(|AD|-|AB|)=|AC|-|AD|+|AB|=t1+t2+3=

突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题

3. 5

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南京廖华

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